本帖转载整理自 《Minecraft 哲学的数学原理》，作者 MCS&E，供服内玩家参考。

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书名：《Minecraft 哲学的数学原理》

作者：MCS&E

网址：https://ccu-mc.ciki.org.cn/

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第5 章
矿车轨道运动规律
5.1
矿车在轨道的定性规律
矿车在在轨道时的运作叫做矿车轨道运动. 一般的，矿车在连续的铁轨上会保
持向同个方向的稳定运动. 那如果不是连续的轨道呢？
5.1.1
直行公理
公理5.1. 在直铁轨的前面接个不与这个直铁轨连接的弯道，则矿车从这个铁轨出
发碰到弯铁轨的运动方向与原来的运动方向相同. 这个公理也叫做直行公理.
如图5.1所示，矿车往前走到断开的拐弯处时，就继续验证原来的方向往前走
了.
图5.1
矿车往前走到断开的拐弯处时的情景
5.1.2
东南公理
公理5.2. 在直铁轨的前面接个不与这个直铁轨连接的直道，矿车在进入交叉处时
总是会往绝对的东方向或者南方向运动. 这个公理也叫做东南公理.

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第5 章
矿车轨道运动规律
如图5.2 所示，矿车往前走到断开的直轨道时，左图往东走，右图往南走.
图5.2
左: 矿车转弯往东走; 右: 矿车转弯往南走
5.1.3
穿透公理
公理5.3. 在下坡时矿车若碰到卡在铁轨上方一格的方块时，就会被卡住，而若碰
到卡在铁轨上的方块时，就会被穿透. 但是矿车若是上坡时这两种情况都会卡住.
这个公理也叫做穿透公理.
如图5.3所示，左图矿车若碰到卡在铁轨上方一格的方块时被卡住，右图矿车
碰到卡在铁轨上的方块时就会被穿透.
图5.3
左: 矿车卡住; 右: 矿车穿透

第5 章
矿车轨道运动规律
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5.2
理想矿车在轨道上运动的性质
本节将讨论理想矿车在轨道上运动的性质，以下的公理的原因都是焊死在代
码里面的，通过翻阅MOJANG 的代码得到的.
5.2.1
矿车的位移
公理5.4. 矿车的位移总是为前一刻的位移加上前一刻的速度.
用数学语言表示成这样：
xt+1 = xt + vt.
(5.1)
5.2.2
重力的影响
公理5.5. 在每一TICK 中, 作用后的速度等于作用前的速度加上轨道上重力加速
度.
用数学语言表示成这样：
vt+1 = vt + g.
(5.2)
由递推公式(5.2)，得到速度通项公式：
vt = v1 + g (t −1) .
(5.3)
由速度通项公式(5.3)，求和得到位移通项公式：
st = g
2n2 +

v1 + g
2

n.
(5.4)
5.2.3
玩家的影响
公理5.6. 在每一TICK 中，若玩家手动加速, 作用后的速度等于作用前的速度加
上aplayer = 0.1b/tk2.
用数学语言表示成这样：
vt+1 = vt + aplayer.
(5.5)
由递推公式(5.5)，得到速度通项公式：
vt = v1 + aplayer (t −1) .
(5.6)
由速度通项公式(5.6)，求和得到位移通项公式：
st = aplayer
2
n2 +

v1 + aplayer
2

n.
(5.7)

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第5 章
矿车轨道运动规律
5.2.4
动力铁轨的影响
5.2.4.1
动力铁轨的制动
公理5.7. 在每一TICK 中，矿车在未充能的动力铁轨运动的, 作用后的速度等于
作用前的速度减半.
用数学语言表示成这样：
vt+1 = 1
2vt.
(5.8)
由递推公式(5.14)，得到速度通项公式：
vt = v1 ·
1
2
t−1
.
(5.9)
由速度通项公式(5.15)，求和得到位移通项公式：
st = 2v1

1 −

1
2
t!
.
(5.10)
5.2.4.2
动力铁轨的加速
公理5.8. 在每一TICK 中，矿车在充能的动力铁轨加速的, 作用后的速度等于作
用前的速度加上apowered = 0.06b/tk2.
用数学语言表示成这样：
vt+1 = vt + apowered.
(5.11)
由递推公式(5.11)，得到速度通项公式：
vt = v1 + apowered (t −1) .
(5.12)
由速度通项公式(5.12)，求和得到位移通项公式：
st = apowered
2
t2 +

v1 + apowered
2

t.
(5.13)
5.2.5
铁轨的阻尼
公理5.9. 在每一TICK 中，矿车在铁轨运动的作用后的速度等于作用前的速度乘
以阻尼系数d，再乘以环境系数e.
阻尼系数会随着矿车的种类而变化，若是运输矿车与漏斗矿车则会随着里面
存放的物品的数量而变化，这些在后面的内容我们再研究. 用数学语言表示成这样：
vt+1 = devt.
(5.14)

第5 章
矿车轨道运动规律
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由递推公式(5.14)，得到速度通项公式：
vt = v1 · (de)t−1 .
(5.15)
由速度通项公式(5.15)，求和得到位移通项公式：
st = v1
1 −(de)t

1 −de

.
(5.16)
5.2.6
矿车的回弹
公理5.10. 矿车的在撞到末端方块总是会一固定的速度vrebound = 0.02 b/tk 沿着
撞之前的反方向运动.
可以用数学语言表示成这样：
vt+1 = −vt
|vt|vrebound.
(5.17)
这些就是轨道上矿车的理想运动规律，至于不理想的情况再后文为研究.
5.3
多个矿车运动规律的组合
在上一节中，我们分别介绍了矿车在轨道上运动的基本规律，包括位移、重
力、玩家影响、动力铁轨的影响、阻尼和回弹. 然而，在实际的轨道系统中，矿车
往往会同时受到多种规律的影响. 例如，矿车在斜坡上下滑时，既受到重力的加速
作用，又受到铁轨的阻尼作用. 本节将讨论多种运动规律组合的情况，并给出相应
的数学描述.
5.3.1
组合规律的基本原理
在Minecraft 中，矿车的运动更新是按照一定的顺序进行的. 在每个TICK 中，
游戏引擎会依次应用各种运动规律来更新矿车的速度. 因此，当矿车同时受到多种
规律影响时，其速度更新可以看作是一个多步骤的过程.
设矿车在时刻t 的速度为vt，经过一个TICK 后，速度变为vt+1. 假设矿车同
时受到n 种规律的影响，每种规律对应一个速度变换函数fi（i = 1, 2, . . . , n），则
速度更新公式可以表示为：
vt+1 = fn(. . . f2(f1(vt)) . . . ).
(5.18)
需要注意的是，这些变换函数的应用顺序非常重要，不同的顺序可能会导致
不同的结果. 在Minecraft 中，这个顺序是固定的，我们通过分析游戏代码和实验
观察，可以确定这个顺序.

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第5 章
矿车轨道运动规律
5.3.2
典型组合规律的分析
5.3.2.1
斜坡下滑与阻尼的组合
考虑矿车在斜坡上下滑，同时受到重力和阻尼的影响. 根据游戏引擎的顺序，
通常是先应用重力加速度，再应用阻尼衰减. 因此，速度更新公式为：
vt+1 = (vt + g) · d · e.
(5.19)
其中，g 是重力加速度，d 是阻尼系数，e 是环境系数.
5.3.2.2
动力铁轨加速与阻尼的组合
当矿车在充能的动力铁轨上运动时，会受到动力铁轨的加速度和阻尼的共同
影响. 假设先应用动力铁轨的加速度，再应用阻尼，则速度更新公式为：
vt+1 = (vt + apowered) · d · e.
(5.20)
其中，apowered 是动力铁轨的加速度.
如果动力铁轨未激活，则动力铁轨会起到制动作用，即速度减半，然后再应用
阻尼：
vt+1 = 1
2vt · d · e.
(5.21)
5.3.2.3
玩家推动与阻尼的组合
当玩家推动矿车时，矿车会获得一个加速度，同时受到阻尼的影响. 速度更新
公式为：
vt+1 = (vt + aplayer) · d · e.
(5.22)
其中，aplayer 是玩家推动的加速度.
5.3.2.4
多种规律的综合组合
在实际的轨道系统中，矿车可能同时受到更多种规律的影响. 例如，矿车在斜
坡上的动力铁轨上被玩家推动，同时受到重力、动力铁轨加速度、玩家推动和阻
尼的影响. 那么，速度更新公式可以表示为：
vt+1 = ((vt + g + apowered + aplayer) · d · e.
(5.23)
5.3.3
组合规律的通项公式
对于更一般的情况，矿车在运动过程中可能依次受到k 种加速度（包括正负
加速度）和m 种乘数（如阻尼）的影响. 我们可以将这些规律分为加法规律和乘法

第5 章
矿车轨道运动规律
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规律. 假设加法规律的作用是依次加上加速度a1, a2, . . . , ak，乘法规律的作用是依
次乘以系数m1, m2, . . . , mm，并且先应用所有加法规律，再应用所有乘法规律，则
速度更新公式为：
vt+1 = (vt + a1 + a2 + · · · + ak) · m1 · m2 · · · · · mm.
(5.24)
然而，在实际游戏中，加法和乘法规律可能是交替应用的. 因此，最一般的形
式是：
vt+1 = fn(fn−1(. . . f1(vt) . . . )).
(5.25)
其中，fi 可以是加法函数或乘法函数.
5.4
货运矿车的质量与产生的红石信号
货运矿车指的是箱子矿车与漏斗矿车，这些矿车都可以装载物品，物品的质
量也可以被探测铁轨的红石比较器检测出信号，并且前文也讲过阻尼系数d 也与
质量有关，质量也与里面装载的物品有关. 本节我们将探究货运矿车的质量与里面
的物品及红石比较器检测的信号的关系.
5.4.1
货运矿车的质量与阻尼
公理5.11. 矿车受到的阻尼阻尼与矿车的质量成正比关系.
在MOJANG 的代码中，阻尼与矿车的质量成正比关系，与轨道类型无关，公
式记为：
d = k1m.
(5.26)
公理5.12. 矿车的质量与里面的单个格子物品数量c 及所占的权重p 之和成正比
关系.
n 为矿车的容量，根据公理，公式记为：
m = k2
n
X
i=1
pici
(5.27)
公理5.13. 权重的话是64 与最大堆叠数cmax 之比.
例如下界合金剑最大堆叠数是1，那么权重是64；下界合金剑最大堆叠数是
16，那么权重是4. 可以变成这个公式：
p =
64
cmax
(5.28)
有了以上基本公理，就可以将货运矿车的质量与红石信号强度关联了.

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第5 章
矿车轨道运动规律
5.4.2
货运矿车的质量与红石信号强度
将连接比较器的探测铁轨上，当货运矿车经过时，有以下公理：
公理5.14. 比较器输出的红石信号强度是货运矿车中所有格子的物品相对堆叠水
平的平均值的线性函数，并取整到整数.
用公式描述，比较器输出的红石信号强度为以下：
β =

1 +

n
X
i=1
ci
cmax,i
!
n
× 14
(5.29)
我们发现公式(5.29)与上小节的公式(5.27)和公式(5.28)有相关之处，不妨将
这些公式联立起来：
将公式(5.28)代入公式(5.27)，得到：
m = k2
n
X
i=1
 64
cmax,i

ci = 64k2
n
X
i=1
ci
cmax,i
(5.30)
观察公式(5.29)和公式(5.30)，可以发现两者都包含相同的求和项. 因此，我们
可以建立质量m 与红石信号强度β 之间的关系：
由公式(5.30)可得：
n
X
i=1
ci
cmax,i

m
64k2
(5.31)
将公式(5.31)代入公式(5.29)，得到质量与红石信号强度的直接关系：
β =


1 +

7m
32k2n

(5.32)
这个关系式表明，货运矿车的质量m 与比较器输出的红石信号强度β 之间存
在线性关系. 通过测量红石信号强度，我们可以间接计算出矿车的质量，这在自动
化运输系统中具有重要的应用价值.
定理5.1. 货运矿车的质量与比较器输出的红石信号强度之间存在线性关系.
需要注意的是，公式中的常数k2 需要通过实验测定，其值与矿车本身的特性
相关，我们先保留.

第5 章
矿车轨道运动规律
· 95 ·
5.4.3
矿车离开铁轨
5.4.3.1
矿车离开铁轨的定性分析
我们将矿车放在动力铁轨上激活，然后把末端的铁轨分别向上放，平放，向下
放如图5.4所示. 通过实验我们发现：
(a) 向下
(b) 平放
(c) 向上
图5.4
铁道末端的状态

1. 当铁轨朝向上时，矿车以在铁轨上的速度向上抛出.
2. 当铁轨平放时，矿车以在铁轨上的速度平抛.
3. 当铁轨朝向下时，矿车却在铁轨的末端，也就是向下的那个铁轨的末端，以
   在铁轨上的速度平抛.
   实验结果如图5.5所示.
   (a) 向下
   (b) 平放
   (c) 向上
   图5.5
   铁道末端的状态
   5.4.3.2
   矿车离开铁轨的定量分析
   斜上抛
   矿车在斜向上的铁轨时，都会在铁轨的末端45◦的斜向上拋. 我们可以设
   矿车离开铁轨最后一刻的速度大小为v0，矿车离开铁轨最后一刻的水平单位方向
   向量为ˆv. 矿车最后一刻在点P0.
   改写(2.65)，得到:
   Pout = P0 +

1 −f t

1 −f

1
0
!
· ˆvv0 cos π
4
!
t ·

v0 sin π
4

−g · t(t −1)
2

1 −f t

1 −f

0
1
!
· ˆvv0 cos π
4
!

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第5 章
矿车轨道运动规律
化简得
Pout = P0 +

1 −f t

1 −f

√
2
2
0
)· ˆvv0
t ·

v0 ·
√
2
2
!
−g · t(t −1)
2

1 −f t

1 −f

0
√
2
2
)· ˆvv0
(5.33)
平抛与斜下抛
矿车在斜向上的铁轨时，都会在铁轨的末端平抛或者45◦的斜向
下拋. 我们可以设矿车离开铁轨最后一刻的速度大小为v0，矿车离开铁轨最后一刻
的水平单位方向向量为ˆv. 矿车最后一刻在点P0.
改写(2.65)，得到:
Pout = P0 +

1 −f t

1 −f

1
0
!
· ˆvv0
−g · t(t −1)
2

1 −f t

1 −f

0
1
!
· ˆvv0
(5.34)
5.4.4
矿车进入铁轨
当矿车进入铁轨时，矿车的速度为矿车进入铁轨前的那一刻速度在轨道的所
构成的直线的投影. 轨道的所构成的直线是这个轨道可让矿车运动的方向的直线，
这条线在轨道中央.
5.4.4.1
由矿车进入铁轨前的最后一刻的速度来求矿车进入铁轨时的速度
设铁轨构成的直线的方程为：
x −x0
A
= y −y0
B
= z −z0
C
则这个直线方程的方向向量为：
s =
A
B
C
其中x0，y0，z0 是这个铁轨作为方块放置的位置.

第5 章
矿车轨道运动规律
· 97 ·
而设进入铁轨前的最后一刻的速度向量为：
u =
a
b
c
根据投影公式，得u 在s 的投影：
uproj = u · s
s · s s
计算结果得到：
uproj = aA + bB + cC
A2 + B2 + C2
A
B
C
他的模就是矿车在轨上的速度：
vrail = ∥uproj∥= |aA + bB + cC|
√
A2 + B2 + C2
(5.35)
5.4.4.2
由矿车抛物方程来求矿车进入铁轨时的速度
首先我们誊抄一遍矿车作为自由实体的运动方程与速度方程：
运动方程：
x(t) = 1 −f t

1 −f vx,0

y(t) = t · vy,0 −g · t(t −1)
2
z(t) = 1 −f t

1 −f vz,0

速度方程：
vx(t) = f tvx,0
vy(t) = vy,0 −g · t
vz(t) = f tvz,0
令：
x(t1) = x0
y(t2) = y0
z(t3) = z0
若解得的：
t1 ≈t2 ≈t3

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第5 章
矿车轨道运动规律
即：
ln

1 −x0(1 −f)
vx,0

ln f
≈
2vy,0 + g −
q
(2vy,0 + g)2 −8gy0
2g
≈
ln

1 −z0(1 −f)
vz,0

ln f
则可以判断矿车落入轨道里.
然后把t1，t2，t3 代回到速度方程里，得到：
vx(t1) = vx,0 −x0(1 −f)
vy(t2) = −g +
p
(2vy,0 + g)2 −8gy0
2
vz(t3) = vz,0 −z0(1 −f)
用向量表示为：
u =
vx,0 −x0(1 −f)
−g +
p
(2vy,0 + g)2 −8gy0
2
vz,0 −z0(1 −f)
把u 代入到(5.35)得到：
vrail =
(vx,0 −x0(1 −f)) A +

−g +
p
(2vy,0 + g)2 −8gy0
2
!
B + (vz,0 −z0(1 −f)) C

√
A2 + B2 + C2
(5.36)
这个就是落入轨道后的矿车的速度了.
5.5
矿车轨道上运动规律的实际应用
5.5.1
应用于公式推理
在前面研究矿车的运动的规律时，我们发现速度通项公式要么是等差数列，要
么是等比数列. 并且我们同时得到了递推公式与通项公式，而我们发现了这两个公
式总是有重复的参数，例如在等差数列的时间与加速度，等比数列的时间与阻尼
系数，那么我们联立消去这两个重复的参数会怎么样呢？
例5.1. 已知通项公式
vt = v1 + a (t −1) .
与求和公式
st = a
2t2 +

v1 −a
2

t.
分别消去两个参数a 与t 来联立.

第5 章
矿车轨道运动规律
· 99 ·
证明: 1. 消去参数a （无a 公式）
从速度公式解出a ：
a = vt −v0
t
(t̸ = 0)
代入位移公式：
st = v0t + 1
2
vt −v0
t

t2 = v0t + 1
2(vt −v0)t = t
2(v0 + vt)
因此，无a 公式为：
st = t
2(v0 + vt) .
(5.37)
这正好对应物理中的” 平均速度公式”，即位移等于初速度和末速度的平均值
乘以时间.
2. 消去参数t （无t 公式）
从速度公式解出t ：
t = vt −v0
a
(a̸ = 0)
代入位移公式：
st = v0
vt −v0
a


• 1
  2a
  vt −v0
  a
  2
  = v0(vt −v0)
  a
• 1
  2
  (vt −v0)2
  a
  合并项：
  st = 1
  a
  
  v0(vt −v0) + 1
  2(vt −v0)2
  
  简化括号内表达式：
  v0vt −v2

0 + 1

2(v2
t −2v0vt + v2
0) = 1
2v2
t −1
2v2
0
所以：
st = 1
a · 1
2(v2
t −v2
0)
整理得：
v2
t = v2
0 + 2ast .
(5.38)
这就是标准物理中的” 无t 公式”（即速度位移公式）.
例5.2. 已知通项公式
vt = v0dt.
与求和公式
st = v0

1 −dt+1

1 −d ,
(d̸ = 1).

· 100 ·
第5 章
矿车轨道运动规律
分别消去两个参数d 与t 来联立.
证明: 1. 消去参数t （无t 公式）
由vt = v0dt 得dt = vt
v0
，所以dt+1 = d · dt = d · vt
v0
.
代入求和公式：
st = v0

1 −dt+1

1 −d

= v0

1 −d · vt

v0

1 −d

= v0

1 −dvt

v0

1 −d

= v0 −dvt

1 −d

因此，无t 公式为：
st = v0 −dvt

1 −d

.
(5.39)
注意，此公式仍包含公比d，但对于固定的d，它表达了st 和vt 之间的线性
关系.
2. 消去参数d （无d 公式）
从通项公式解出d：
d =
vt
v0
1/t
(t̸ = 0)
代入求和公式：
st = v0

1 −

vt
v0
1/t!t+1

1 −

vt
v0
1/t
= v0

1 −

vt
v0
1+1/t

1 −

vt
v0
1/t
(5.40)
该表达式涉及t 和分数指数，没有简洁的封闭形式. 因此，对于等比数列，消去d
无法得到类似于物理中” 无a 公式” 的简单关系.
5.5.2
轨道上运动的矿车的计算
例5.3. 如图5.6，最左边放的是完整的方块，然后铺上l 个充能的动力铁轨，求到
达最右边铁轨的矿车的速度与时间.
证明: 首先是左侧的完整方块提供的回弹效果速度：
vrebound = 0.02b/tk.

第5 章
矿车轨道运动规律
· 101 ·
图5.6
求到达最右边铁轨的矿车的速度
由于动力铁轨加速效果远远大于阻尼效果，故不考虑阻尼效果，接下来根据
动力铁轨加速效果公式，由(5.16)得
nrail = apowered
2
t2 +

vrebound + apowered
2

t.
(5.41)
解得：
t =
−

vrebound + apowered
2

+
r
vrebound + apowered
2
2

• 2apowerednrail
  apowered
  (5.42)
  然后的话求末端速度，根据公式(5.38)得：
  vend =
  q
  v2
  rebound + 2apowerednrail .
  (5.43)
  当我们给(5.43)代入相关参数时，得到：
  vend = √0.0004 + 0.12 nrail
  (5.44)
  5.5.3
  应用于定理证明
  5.5.3.1
  猜想与证明
  例5.4. 观察图片5.7，如果把能够激发不同强度红石信号的矿车从小到大排列（从
  下往上依次变大），同个强度信号的矿车只有一个，第一个铁轨是动力铁轨，后面
  的是普通铁轨，同时激活动力铁轨，矿车同时出发，观测当所有矿车停止时这些矿
  车构成的点，猜想所成的曲线并证明.
  我们可以发现，如果将图像中的矿车用光滑的曲线连接，那么就会发现这个
  图像有点像一次分式函数y =
  a
  b + cx，所以我们可以猜想，初速度相同时且仅有
  阻尼条件时，矿车最远行驶距离与矿车能激活的红石信号成一次分式函数关系.
  证明: 首先对(5.15)取极限：
  smax = lim
  t→∞
  v1
  1 −(de)t
  

1 −de

=
v1
1 −de.
(5.45)

· 102 ·
第5 章
矿车轨道运动规律
图5.7
矿车的构成图象像一次分式函数
联立(5.26)与(5.32)，破除取整符号，得：
β = 1 + 7k1d
32k2n.
(5.46)
在将d 代入(5.46)，得到：
smax =
v1
1 −de.
(5.47)
联立(5.46)与(5.47)，得证：
smax =
7v1k1
(32k2ne + 7k1) −(32k2ne) β .
(5.48)
此结果符合一次分式函数.
5.5.3.2
代入数据
以下我们只计算矿车从最左边放，且只考虑一个动力铁轨来加速的情况. 多个
连续的动力铁轨来加速的结论在后文会出现. 为了使得这个函数计算方便，我们希
望利用统计学的方法进一步得到这个函数的无参数形式. 为此我们可以两边取倒
数，然后整理得：
−32k2ne
7v1k1
β + 32k2ne + 7k1
7v1k1

1
smax
.
(5.49)
我们令y =
1
smax
、x = β、b = −32k2ne
7v1k1
以及a = 32k2ne + 7k1
7v1k1
，得到线性回
归方程.
by = bbx + a.
如表5.1. 是实验得到的信号强度与最大滑行距离关系：
我们对上面的数据进行离散点图统计，如图5.8，发现其是一个极为完美的一
次函数.

第5 章
矿车轨道运动规律
· 103 ·
表5.1
信号强度与最大滑行距离关系
序号
信号强度β
smax
y =
1
smax
001
0
64.000
0.0156
002
1
53.333
0.0188
003
2
46.714
0.0214
004
3
40.000
0.0250
005
4
35.556
0.0281
006
5
32.000
0.0313
007
6
29.091
0.0344
008
7
26.667
0.0375
009
8
24.615
0.0406
010
9
22.857
0.0438
011
10
21.333
0.0469
012
11
20.000
0.0500
013
12
18.824
0.0531
014
13
17.778
0.0563
015
14
16.842
0.0594
016
15
16.000
0.0625
平均
7.5
30.000
0.0375
5.5.3.3
线性回归分析
为了得到信号强度β 与最大滑行距离倒数y =
1
smax
之间的无参数形式，我们
进行线性回归分析. 根据理论推导，线性回归方程为：
by = bbx + a,
其中bx = β，by = y，b = −32k2ne
7v1k1
，a = 32k2ne + 7k1
7v1k1
.
利用表5.1 中的数据，我们计算回归系数b 和a. 首先，计算必要的统计量：-
数据点数量n = 16，-
X
x =
X
β = 0 + 1 + · · · + 15 = 120，-
X
y =
X
1
smax

0.0156 + 0.0188 + · · · + 0.0625 = 0.6247，-

X
xy =
X
β · y = 0 × 0.0156 + 1 ×

0.0188 + · · · + 15 × 0.0625 = 5.7506，-

X
x2 =
X
β2 = 02 + 12 + · · · + 152 = 1240.
回归系数计算公式为：
b =
n
X
xy −
X
x
X
y
n
X
x2 −(
X
x)2 ,
a =
X
y −b
X
x
n
.

· 104 ·
第5 章
矿车轨道运动规律
图5.8
信号强度与最大滑行距离关系
代入数值：
b = 16 × 5.7506 −120 × 0.6247

16 × 1240 −1202

= 92.0096 −74.964

19840 −14400

= 17.0456
5440
≈0.003133,
a = 0.6247 −0.003133 × 120
16
= 0.6247 −0.37596
16
= 0.24874
16
≈0.015546.
因此，线性回归方程为：
by = 0.003133β + 0.015546.
还原为原方程形式：
smax =
1
0.003133β + 0.015546.
5.5.3.4
拟合程度分析
为了评估拟合优度，计算决定系数R2. 首先，计算总平方和（SST）、回归平
方和（SSR）和残差平方和（SSE）：

• 平均值¯y =
  X
  y
  n
  = 0.6247
  16
  = 0.039044, - SST =
  X
  (yi −¯y)2 = 0.002343, -
  SSR =
  X
  (byi −¯y)2 = 0.002341, - SSE =
  X
  (yi −byi)2 = 0.000002.

第5 章
矿车轨道运动规律
· 105 ·
决定系数为：
R2 = 1 −SSE
SST = 1 −0.000002
0.002343 ≈0.9991.
R2 值非常接近1，表明线性模型对数据的拟合程度极高.
5.5.3.5
残差分析
残差是观测值与预测值之差，即ei = yi −byi. 计算各数据点的残差，如下一页
的表5.2 所示.
表5.2
线性回归残差分析
序号
β
y观测
by预测
残差ei
001
0
0.0156
0.015546
0.000054
002
1
0.0188
0.018679
0.000121
003
2
0.0214
0.021812
-0.000412
004
3
0.0250
0.024945
0.000055
005
4
0.0281
0.028078
0.000022
006
5
0.0313
0.031211
0.000089
007
6
0.0344
0.034344
0.000056
008
7
0.0375
0.037477
0.000023
009
8
0.0406
0.040610
-0.000010
010
9
0.0438
0.043743
0.000057
011
10
0.0469
0.046876
0.000024
012
11
0.0500
0.050009
-0.000009
013
12
0.0531
0.053142
-0.000042
014
13
0.0563
0.056275
0.000025
015
14
0.0594
0.059408
-0.000008
016
15
0.0625
0.062541
-0.000041
平均
7.5
0.039044
0.039044
0.000000
残差的标准差为：
σe =
sX
e2
i
n −2 =
r

2.4 × 10−7

14
≈0.000131.
残差接近于零，标准差极小，表明模型预测精度高.

· 106 ·
第5 章
矿车轨道运动规律
5.5.3.6
结论与总结
通过线性回归分析，我们得到了信号强度β 与最大滑行距离倒数y =
1
smax
之
间的线性关系：
by = 0.003133β + 0.015546.
还原为原方程形式：
smax =
1
0.003133β + 0.015546.
分母整数化并且进行了估值，得到更为精简的结论：
smax = 320
β + 5.
(5.50)
分析表明：
• 拟合优度高：决定系数R2 ≈0.9991，模型能解释99.91% 的数据变异.
• 残差小：残差标准差仅为0.000131，预测误差可忽略.
线性回归分析不仅验证了理论模型，而且提供了可靠的数学工具，具有重要
的理论和实践意义.
之前研究的是在只有一格动力铁轨的最远距离的问题. 现在我们要一般化到
在nrail 格动力铁轨下的最远的距离问题.
我们将(5.51)誊抄下来：
vend = √0.0036 + 0.12 nrail
由公式(5.51)，当nrail = 1 时，得：
v1 =
√

0.0036 + 0.12 =

√

0.1236 ≈0.351428 b/tk2

我们再对(5.50)与(5.48)取等，得到：
smax,1 =
7v1k1
(32k2ne + 7k1) −(32k2ne) β = 320
β + 5
三边乘以vend
v1
, 得到：
smax,n = vend
v1
smax,1 = vend
v1
·
7v1k1
(32k2ne + 7k1) −(32k2ne) β = vend
v1
· 320
β + 5
得到：
smax,n =
√0.0036 + 0.12 nrail
0.351428
· 320
β + 5

第5 章
矿车轨道运动规律
· 107 ·
通分得：
smax,n = 320√3 + 100nrail
√
103(β + 5)
.
(5.51)
至此我们找到了在nrail 格动力铁轨下提供的初速度后开始计算与记位置，矿
车的最远的距离问题.
定理5.2. 初速度相同时且仅有阻尼条件时，矿车最远行驶距离与矿车能激活的红
石信号成一次分式函数关系.