本帖转载整理自 《Minecraft 哲学的数学原理》，作者 MCS&E，供服内玩家参考。

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书名：《Minecraft 哲学的数学原理》

作者：MCS&E

网址：https://ccu-mc.ciki.org.cn/

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第4 章
外界因素对于实体运动的作用
在Minecraft 的实体的运动中，不仅仅只有G、M、D 的影响，更有可能受到
外部环境的影响. 有些是瞬时影响的，例如活塞对实体的推动；而有些是持续影响
的，例如气泡柱对实体运动的影响.
4.1
爆炸
爆炸是Minecraft 中破坏方块的一种途径，同时爆炸也会改变实体速度. 那么
爆炸是t 如何改变实体速度的？
4.1.1
引入名词
爆炸距离
定义4.1. 一个爆炸源与玩家的距离叫做爆炸距离，记为de.
爆炸中心
定义4.2. 一个爆炸源的坐标叫做爆炸中心.
爆炸中心的y 轴坐标不一定是这个爆炸的实体的中心，爆炸中心的高度he 随
爆炸实体的不同而不同，具体位置见附录.
爆炸威力
定义4.3. 爆炸威力决定着爆炸的破坏力度及对实体的伤害程度，记为Pe
爆炸保护
定义4.4. 爆炸保护魔咒是一种可以抵挡缓解爆炸的魔咒，等级越高抵挡能力越强，
其等级记为Ue
爆炸半径
定义4.5. 当一个爆炸源爆炸时所可以影响的范围叫做爆炸半径，记为re.

第4 章
外界因素对于实体运动的作用
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爆炸半径正好是爆炸威力的两倍，亦为：
re = 2Pe
(4.1)
爆炸接触率
定义4.6. 在爆炸那一瞬间爆炸中心会向周围均匀辐射探测射线，爆炸接触率γe 就
是被实体照射的射线的数量与总数量之比.
4.1.2
爆炸击退与速度的计算
公理4.1. 爆炸击退与用单位一减去爆炸距离与爆炸半径之比成正比，与爆炸接触
率成反比.
用公式表示为：
Le = γe


1 −de

re

(4.2)
计算完爆炸击退率后就可以计算爆炸对实体所产生的速度了.
公理4.2. 爆炸产生的速度大小等于爆炸击退乘以单位一减去抵抗常数qe 乘以穿
着的所有还有爆炸保护魔咒的盔甲的最大等级.
抵抗常数qe 恒为0.15，且根据公理的描述得到公式：
ve = (1 −qeUe) Le
(4.3)
将上面的公式整合在一起就变成了这个统一的公式：
ve = (1 −qeUe) γe


1 −de

2Pe

(4.4)
我们发现，在(4.4)中的1 −qeUe，若让ve < 0，即：
Ue > 1
qe
(4.5)
则实体还会吸向爆炸中心.
事实上，如果玩家穿戴VII 级以上的爆炸保护的盔甲，那么玩家就会吸向爆炸
中心.
4.1.3
爆炸场
对于(4.5)，我们可以将其待定系数化成这样
ve = k −bde

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第4 章
外界因素对于实体运动的作用
若将爆炸中心放在世界原点
0
0
0
)，则在y = 0 的平面可以将公式的de 替换
成
√
x2 + z2，从而得到：
ve = k −b
√
x2 + z2
根据这个来绘制矢量场与等高线得到下面两个图：（k > 0, b < 0）
x
z
O
爆炸场
x
z
O

6 5 4 3

等高线
图4.1
左: 矢量场图，箭头表示梯度方向，由于b < 0，箭头从原点向外发散；右: 等高线图，
由于函数径向对称，等高线为同心圆，中心值最小，向外递增
根据绘制的矢量场图和等高线图，可以系统分析函数ve = k −b
√
x2 + z2（其
中k > 0, b < 0）的数学性质与几何特征.
4.1.3.1
一、函数的基本特征

1. 径向对称性
   • 函数仅依赖于到原点的欧几里得距离r =
   √
   x2 + z2
   • 与角度θ = arctan(z/x) 无关，具有完全的旋转对称性
   • 等高线呈现完美的同心圆结构，验证了在任意方向(θ) 上函数变化规律相同
2. 单调性
   • 由于参数约束b < 0，函数可等价表示为ve = k + |b|r
   • 函数值ve 随r 单调递增：∂ve
   ∂r = |b| > 0
   • 在原点处取得全局最小值：ve(0, 0) = k
   • 随着与原点距离增加，函数值线性增长，无上界

第4 章
外界因素对于实体运动的作用
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4.1.3.2
二、梯度场的矢量分析

1. 梯度方向与矢量场梯度计算如下：
   ∇ve =
   ∂ve
   ∂x , ∂ve
   ∂z
   

   
   −
   bx
   √
   x2 + z2, −
   bz
   √
   x2 + z2
   

   |b|x
   r , |b|z
   r
   
   • 由于b < 0，梯度方向为
   x
   r , z
   r
   
   ，即从原点指向外的单位径向矢量
   • 矢量场图示显示所有箭头从原点呈放射状向外发散
   • 该方向是函数值增加最快的方向，与等高线垂直
2. 梯度幅值的均匀性梯度的大小为：
   |∇ve| =
   s|b|x
   r
   2

|b|z
r
2
= |b|
• 梯度幅值在整个定义域内（除原点外）保持恒定
• 矢量场中箭头长度均匀一致，直观反映了这一重要性质
• 表明函数在任意点的变化率相同，形成均匀变化的势场
4.1.3.3
三、等高线的几何特征

1. 等值面的拓扑结构
   • 等高线方程为k −b
   √
   x2 + z2 = C，等价于r = k −C
   b
   • 由于b < 0，可得r = C −k
   |b|
   ≥0
   • 对于不同常数C，得到一系列同心圆，圆心在原点
2. 等值面间距的均匀性设r1 = C1 −k
   |b|
   , r2 = C2 −k
   |b|
   ，则：
   ∆r = r2 −r1 = C2 −C1
   |b|
   • 等值面半径差与函数值差成正比
   • 相邻等高线之间的径向距离恒定
   • 图示中等高线均匀分布，验证了函数的线性径向变化
   4.1.3.4
   四、函数的微分性质
3. 连续性与可微性
   • 函数在整个R2 上连续，包括原点：lim(x,z)→(0,0) ve = k
   • 在原点外处处可微，梯度存在且连续
   • 原点为奇点：梯度方向不唯一，但函数值连续

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第4 章
外界因素对于实体运动的作用
2. 二阶导数与凸性海森矩阵为：
H(ve) =
∂2ve
∂x2
∂2ve
∂x∂z
∂2ve
∂z∂x
∂2ve
∂z2
)= |b|
r3

z2
−xz
−xz
x2
!
• 海森矩阵半正定，函数为凸函数
• 等高线向外凸出，符合凸函数的几何特征
• 原点处二阶导数未定义
4.1.3.5
五、物理意义与几何解释

1. 势场模型函数可解释为：
   • 中心势场，原点为势能最低点
   • 势能函数：V (r) = k + |b|r
   • 均匀力场：⃗F = −∇V = −|b|ˆr，大小恒定，方向指向原点
2. 几何曲面的形状三维曲面z = ve(x, y) = k + |b|
   p
   x2 + y2：
   • 是以原点为顶点的圆锥面
   • 沿径向的斜率为常数|b|
   • 水平截面为圆形，竖直截面为直线
   4.1.3.6
   六、参数k 和b 的影响
3. 参数k 的作用
   • 垂直偏移：控制整个曲面的基准高度
   • 不改变梯度场和等高线的相对分布
   • 仅影响函数值，不影响变化率
4. 参数b 的作用（b < 0）
   • 控制梯度大小：|∇ve| = |b|
   • 决定函数变化的快慢
   • 影响等高线的密度：|b| 越大，等高线越密集
   4.1.3.7
   七、总结与综合
5. 对称性：完全的径向对称，等高线为同心圆
6. 单调性：从原点向外单调递增，最小值在原点
7. 梯度场：均匀的放射状矢量场，梯度大小恒定
8. 微分性质：原点外处处可微，原点为奇点

第4 章
外界因素对于实体运动的作用
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5. 几何形状：圆锥曲面，线性径向变化
6. 参数意义：k 控制基准值，|b| 控制变化率
该函数模型在Minecraft 中描述爆炸场，在数学上是一个典型的径向线性函
数，具有简洁的解析形式和清晰的几何解释. 矢量场图直观展示了梯度方向的均匀
放射状分布，等高线图则清晰反映了函数的径向对称性和线性变化特征.
4.2
栓绳
栓绳可以绑定玩家或篱笆与动物，玩家或篱笆为主动点，动物为从动点，当玩
家里动物达到一定距离时，动物会被玩家拉动从而被动朝着玩家来移动.
4.2.1
名词引入
栓动向量
定义4.7. 栓动向量指的是由被拴住的实体指向栓动者的向量，记为d.
栓动距离
定义4.8. 栓动距离指的是由被拴住的实体到栓动者的距离，记为∥d∥，也就是栓
动向量的模长.
4.2.2
产生拉动的条件与拉动产生的加速度
公理4.3. 当0 < ∥d∥< dmin 时，绳子没有被绷紧，此时被拴住的生物可以自由移
动；当dmin < ∥d∥< dmax 时，绳子会绷紧从而被拴住的生物不可以自由移动，只
有被栓绳拉的加速度、重力加速度与阻力参与运算; 当∥d∥> dmax 时，绳子断裂.
而被栓绳拉的加速度a 则按照下面的规则计算：
公理4.4. 加速度向量a 与d 的Hadamard 立方和d 的立方模之比成正比
用公式表示为：
a ∝d⊙3
∥d∥3
(4.6)
其中d⊙3 为d 的Hadamard 立方，关于Hadamard 积以及平方的定义与性质见
附录B.2.1.2.
公式还可以变成这样子：
a = k d⊙3
∥d∥3
(4.7)

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第4 章
外界因素对于实体运动的作用
其中k 恒为0.4，是栓绳常数.
如果将其拆解成三维的参数方程就变成：
ax(n) = k
d3
x
q
(d2
x + d2
y + d2
z)3
ay(n) = k
d3
y
q
(d2
x + d2
y + d2
z)3
az(n) = k
d3
z
q
(d2
x + d2
y + d2
z)3
(4.8)
4.2.3
栓动模型
4.2.3.1
静～彼动模型
假设栓动者M =
0
0
0
)是静止的，被栓动者N = sn 是运动的.
绳子的栓动的加速度影响是与重力的影响同样进行计算的为此根据改写为：
sn+1 = sn + f nv0 + g −k sn
⊙3
∥sn∥3.
(4.9)
得到：
sn = s0 +
v0
f −1(f n −1) + ng −k
n−1
X
i=0
si
⊙3
∥si∥3
(4.10)
这个方程没有显式通项，仅有在特殊情况，例如被栓动者仅仅呈直线运动下
才有显式解. 而在高维情况下可以通过数学软件通过图像求数值解.
4.2.3.2
动～被动模型
假设栓动者M = f (n) 是沿着向量函数f 运动的，被栓动者N = sn 是运动的.
那么栓动向量d = −−→
NM = f (n) −sn
整合在一起得到：
sn+1 = sn + f nv0 + g −k(f (n) −sn)⊙3
∥f (n) −sn∥3
(4.11)
绳子的栓动的加速度影响是与重力的影响同样进行计算的为此根据改写为：
sn = s0 +
v0
f −1(f n −1) + ng −k
n−1
X
i=0
(f (i) −si)⊙3
∥f (i) −si∥3
(4.12)
这个方程也没有显式通项，仅有在特殊情况，例如被栓动者仅仅呈直线运动
下才有显式解. 而在高维情况下可以通过数学软件通过图像求数值解.

第4 章
外界因素对于实体运动的作用
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关于这两个方程的实际运用计算在后面的章节给出.
4.2.4
栓场
根据：
a = k d⊙3
∥d∥3
得出图像：
x
z
O
栓场
x
z
O
0.4
0.4
0.4
0.4
等栓线
图4.2
左: 矢量场图，箭头表示a 的方向，红色箭头表示坐标轴方向（模长最大），蓝色箭头
表示45 度方向（模长最小）；右: 模长等值线图，由于矢量场具有四重对称性，等值线呈四
叶形状，坐标轴上模长最大（0.4），45 度线上最小（0.283）
接下来研究这个场的性质：
根据矢量场公式a = k d⊙3
∥d∥3，其中d = (x, z)，d⊙3 表示Hadamard 立方（各分
量立方），k = 0.4。此矢量场在栓场模型中具有重要的物理意义，表示某种非线性
力场。
4.2.4.1
一、矢量场的基本特征

1. 对称性分析
   • 矢量场在x 轴和z 轴上具有反射对称性：ax(−x, z) = −ax(x, z)，az(x, −z) =
   −az(x, z)
   • 具有四重对称性：旋转π/2 后，矢量场形式保持但分量交换
   • 不满足完全的旋转对称性，仅在特殊方向上简化
2. 坐标轴方向上的简化沿坐标轴方向，矢量场有特殊形式：

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第4 章
外界因素对于实体运动的作用
• 在x 轴上（z = 0）：a = (k, 0)，矢量沿x 轴方向
• 在z 轴上（x = 0）：a = (0, k)，矢量沿z 轴方向
• 沿45 度线（x = z）：a = k (x3, z3)
(2x2)3/2 =
k
2
√
2(1, 1)
4.2.4.2
二、方向性分析

1. 径向与切向分解将矢量场分解为径向分量和切向分量：
   a = arˆr + aθˆθ
   其中ˆr = (cos θ, sin θ)，ˆθ = (−sin θ, cos θ)。
   经计算：
   ar = k x4 + z4
   (x2 + z2)2 = kcos4 θ + sin4 θ
   1
   aθ = kxz(z2 −x2)
   (x2 + z2)2 = k cos θ sin θ(sin2 θ −cos2 θ)
2. 方向特性
   • 径向分量始终为正，表明矢量场总体向外
   • 切向分量在45 度线及其奇数倍处为零
   • 在坐标轴上，矢量场严格沿径向
   4.2.4.3
   三、模长分布
3. 模长表达式矢量场的模长为：
   |a| = k
   √
   x6 + z6
   (x2 + z2)3/2 = k
   p
   cos6 θ + sin6 θ
   1
4. 模长特性
   • 在坐标轴上：|a| = k（最大值）
   • 在45 度线上：|a| = k/
   √
   2（最小值）
   • 模长在0 到k 之间变化，呈现四叶草形状分布
   • 原点处模长未定义（奇点）
   4.2.4.4
   四、微分性质
5. 散度计算散度表征矢量场的源汇强度：
   ∇· a = ∂ax
   ∂x + ∂az
   ∂z
   计算得：
   ∇· a = 3kx2z2(x2 + z2)
   (x2 + z2)5/2 = 3k
   x2z2
   (x2 + z2)3/2

第4 章
外界因素对于实体运动的作用
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• 散度处处非负，表明矢量场是发散的
• 在坐标轴上散度为零
• 在45 度线上散度最大
2. 旋度分析对于二维矢量场，旋度为标量：
∇× a = ∂az
∂x −∂ax
∂z
计算得：
∇× a = 3kxz(z2 −x2)
(x2 + z2)5/2
• 在坐标轴和45 度线上旋度为零
• 矢量场不是无旋场，存在旋转特性
4.2.4.5
五、物理意义与几何解释

1. 力场模型该矢量场可解释为：
   • 非线性力场，力的大小与方向相关
   • 在爆炸场中可能表示某种高阶效应
   • 能量耗散与方向有关
2. 几何流线特征流线方程为：
   dz
   dx = az
   ax
   = z3
   x3
   解得流线为：z = Cx，其中C 为常数。
   • 流线为过原点的直线
   • 沿每条流线，矢量方向不变
   • 强度沿流线变化
   4.2.4.6
   六、参数k 的影响
3. 缩放因子k
   • 控制矢量场的整体强度
   • 不影响方向分布
   • 与矢量模长成正比
4. 无量纲形式令˜a = a/k，得到无量纲矢量场：
   ˜a = d⊙3
   ∥d∥3
   此形式突显方向特性。

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第4 章
外界因素对于实体运动的作用
4.2.4.7
七、总结与综合

1. 对称性：四重对称，坐标轴上反射对称
2. 方向性：总体向外，在坐标轴上沿径向，45 度线上沿对角线
3. 模长分布：坐标轴上最大，45 度线上最小，呈四叶分布
4. 微分性质：散度非负，存在旋度，非保守场
5. 流线特征：过原点的直线
6. 物理意义：表示高阶非线性加速度场，方向依赖性显著
   该矢量场模型在栓场分析中描述高阶非线性效应，数学上具有丰富的对称性
   和方向特性。矢量场图直观显示其四重对称结构和方向变化，模长等值线图则清
   晰反映强度分布的四叶特征。
   4.3
   流体的推动
   4.3.1
   名词引入
   流动向量
   定义4.9. 水流能够带领实体流动的方向在xz 平面上的投影单位向量叫做流动向
   量，记作ˆo (s)，是由实体位置s 决定的矢量→矢量函数.
   流动加速度
   定义4.10. 水流能够带领实体流动的加速度叫做流动加速度，记作af.
   深浅判断系数
   定义4.11. 实体浸入水下的深度的临界值，记作hl.
   hl 恒为0.4.
   流体常量
   定义4.12. 流体常量由流体类型与流体所在维度决定，记作k.
   水的k =
   7
   500，下界中岩浆的k =
   7
   1000，其他维度中岩浆的k =
   7
   3000
   4.3.2
   流动原理
   公理4.5. 实体在流动的过程中，在每一TICK 计算中，若被流动的实体不是玩
   家，则af = ˆo (s) k；若被流动的实体是玩家，获取实体浸入水中的深度h (s)，是

第4 章
外界因素对于实体运动的作用
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由实体位置s 决定的矢量→变量函数. 在这其中若h (s) > hl，则af = ˆo (s) k，若
h (s) ≤hl，则af = h (s) ˆo (s) k
用算法描述为算法10.
用公式总结为以下：

1. 实体不是玩家
   af = ˆo (s) k
   (4.13)
2. 实体是玩家
   (a) h (s) > hl
   af = ˆo (s) k
   (4.14)
   (b) 0 ≤h (s) ≤hl
   af = h (s) ˆo (s) k
   (4.15)
   算法10 实体在流体中受力计算
   输入: 实体位置s，流体类型，流体所在维度
   输出: 流体加速度af
   1: 获取流体常量k（由流体类型与维度决定）
   2: if 实体是玩家then
   3:
   计算浸水深度h(s)（位置相关的矢量函数）
   4:
   if h(s) > hl then
   5:
   af ←ˆo(s) k
   6:
   else
   7:
   af ←h(s) ˆo(s) k
   8:
   end if
   9: else
   10:
   af ←ˆo(s) k
   11: end if
   12: return af
   4.3.3
   流体推动模型
   我们将GMD 与流体推动的加速度结合在一起就成了：
3. 实体不是玩家或者h (sn) > hl
   sn+1 = sn + f nv0 + g + ˆo (sn) k.
   (4.16)

· 76 ·
第4 章
外界因素对于实体运动的作用
2. 实体是玩家且0 ≤h (sn) ≤hl
sn+1 = sn + f nv0 + g + h (sn) ˆo (sn) k.
(4.17)
得到通项公式：

1. 实体不是玩家或者h (sn) > hl
   sn = s0 +
   v0
   f −1(f n −1) + ng −k
   n−1
   X
   i=0
   ˆo (si)
   (4.18)
2. 实体是玩家且0 ≤h (sn) ≤hl
   sn = s0 +
   v0
   f −1(f n −1) + ng −k
   n−1
   X
   i=0
   ˆo (si) h (si)
   (4.19)
   这些流体的运动模型将在后文会应用到.
   4.3.4
   水流的流动对实体变速的计算
   例4.1. 放在地上的实体在受到单格的水流的推动的作用，研究水流在x −y 的截
   面的运动，设原点O 在水流的中心，由于水流最多可以蔓延l = 7b 格，则可以把
   水流看成Rt△ABC，水源头高度为1b，若把条件一直看成h < hl，求水流对实体
   的作用时，不考虑摩擦，实体的速度方程运动方程.
   图4.3
   水流剖面图
   证明: 对于Rt△ABC 里面有相似关系：
   1
   l =
   h
   l −st
   (4.20)
   根据前面的公式对题目改写：
   v′
   t = vt + ahvq
   (4.21)
   st+1 = st + v′
   t
   (4.22)
   vt+1 = v′
   t · f
   (4.23)

第4 章
外界因素对于实体运动的作用
· 77 ·
首先，从方程(4.20)解出初始条件s0，交叉相乘得：
l −s0 = lh
所以：
s0 = l(1 −h)
接下来，从方程(4.21)、(4.22)、(4.23)推导st 的递推关系. 由方程(4.20)和(4.21)：
st+1 = st + v′
t = st + vt + ahvq
由方程(4.23)：
vt+1 = v′
tf = f(vt + ahvq)
这是一个关于st 和vt 的线性系统. 通过消除vt，可得st 的二阶递推关系：
st+1 = (1 + f)st −fst−1 + ahvq
解此递推方程，特征方程为：
r2 −(1 + f)r + f = 0
特征根为r = 1 和r = f，因此齐次解为s(h)
t
= A + Bf t. 由于非齐次项为常数
ahvq，且特征根有1，故特解形式为s(p)
t
= Kt。代入递推方程：
K(t + 1) −(1 + f)Kt + fK(t −1) = ahvq
简化得：
K(1 −f) = ahvq
所以：
K = ahvq

1 −f

(f̸ = 1)
通解为：
st = A + Bf t + ahvq

1 −f t

利用初始条件确定A 和B。已知s0 = l(1 −h)，所以：
s0 = A + B = l(1 −h)
需要s1 的值。从方程(2.5.7) 和(2.5.6) 于t = 0：
s1 = s0 + v′

0 = s0 + v0 + ahvq

其中v0 为初始速度（未给定，需保留）. 同时从通解于t = 1：
s1 = A + Bf + ahvq

1 −f

· 78 ·
第4 章
外界因素对于实体运动的作用
联立方程：
A + Bf + ahvq

1 −f = l(1 −h) + v0 + ahvq

与A + B = l(1 −h) 解方程组. 解得：
A = l(1 −h) −B
代入：
l(1 −h) −B + Bf + ahvq

1 −f = l(1 −h) + v0 + ahvq

简化得：
B(f −1) + ahvq

1 −f = v0 + ahvq

注意ahvq

1 −f = −ahvq

f −1，所以：
B(f −1) −ahvq
f −1 = v0 + ahvq
解得：
B =
v0
f −1 + ahvqf
(f −1)2
A = l(1 −h) −
v0
f −1 −ahvqf
(f −1)2
因此，st 的通项公式为：
st = l(1 −h) −
v0
f −1 −ahvqf
(f −1)2 +

v0
f −1 + ahvqf
(f −1)2

f t + ahvq

1 −f t

简化后得：
st = l(1 −h) + v0(1 −f) −fahvq
(1 −f)2
(1 −f t) + ahvq

1 −f t

(4.24)
此即st 的通项公式.
4.4
气泡柱的喷涌与虹吸
4.4.1
名词引入
喷涌
定义4.13. 气泡柱给给实体向上推动的力叫做喷涌，通常由灵魂沙引起.
虹吸
定义4.14. 气泡柱给给实体向下推动的力叫做虹吸，通常由岩浆块引起.

第4 章
外界因素对于实体运动的作用
· 79 ·
水面气泡柱
定义4.15. 若气泡柱的上方是空气，则这个气泡柱成为水面气泡柱.
水下气泡柱
定义4.16. 若气泡柱的上方不是空气，则这个气泡柱成为水下气泡柱.
气泡加速度
定义4.17. 气泡柱给给实体推动的加速度叫做气泡加速度，记作ab.
气泡加速度会根据不同气泡柱状态而不同，具体见表格4.1.
表4.1
气泡加速度ab 取值
向上喷涌
向下虹吸
水面气泡柱
0.1
-0.03
水下气泡柱
0.06
-0.03
气泡最大速度
定义4.18. 气泡柱给给实体推动的最大加速度叫做气泡最大速度，记作vm.
气泡柱会根据不同气泡柱状态而不同，具体见表格4.2.
表4.2
气泡最大速度vm 取值
向上喷涌
向下虹吸
水面气泡柱
1.8
-0.9
水下气泡柱
0.7
-0.3
4.4.2
气泡柱推动原理
公理4.6. 当某个实体进入气泡柱时，原先的三因子影响取消. 若实体在向上喷涌
的气泡柱中，这一TICK 的速度是上一TICK 的速度加上加速度与这个状态的气
泡最大速度的最小值；若实体在向下虹吸的气泡柱中，这一TICK 的速度是上一
TICK 的速度加上加速度与这个状态的气泡最大速度的最大值.
用公式表示为：

1. 向上喷涌
   vy,n+1 = max{vm, vy,n + ab}
   (4.25)

· 80 ·
第4 章
外界因素对于实体运动的作用
2. 向下虹吸
vy,n+1 = min{vm, vy,n + ab}
(4.26)
得到速度通项：

1. 向上喷涌
   vy,n =
   vm + (n −1)ab,
   vy,0 ≤vm −ab, n ≥1,
   vy,0 + nab,
   vy,0 > vm −ab, n ≥0.
   (4.27)
2. 向下虹吸
   vy,n =
   vy,0 + nab,
   vy,0 < vm −ab,
   vm,
   vy,0 ≥vm −ab 且n 为奇数,
   vm −ab,
   vy,0 ≥vm −ab 且n 为偶数且n ≥2,
   vy,0,
   vy,0 ≥vm −ab 且n = 0.
   (4.28)
   对这两个求和得位移：
3. 向上喷涌
   sn =
   vy,0 + vm(n −1) + ab(n −2)(n −1)
   2
   ,
   vy,0 ≤vm −ab, n ≥1,
   nvy,0 + abn(n −1)
   2
   ,
   vy,0 > vm −ab, n ≥0.
   (4.29)
4. 向下虹吸
   sn =
   nvy,0 + abn(n −1)
   2
   ,
   vy,0 < m0, n ≥0,
   vy,0 + n −1
   2
   (2vm −ab),
   vy,0 ≥m0 且n 奇数,
   vy,0 + n −2
   2
   (2vm −ab) + vm,
   vy,0 ≥m0 且n 偶数, n ≥2,
   vy,0,
   vy,0 ≥m0 且n = 1
   (4.30)
   4.5
   活塞的变速作用
   公理4.7. 活塞会直接把活塞或者连接活塞的方块推动，在推动过程中若有实体与
   推动的活塞或连接活塞的方块碰上，就会将实体的运动向量的推动的那个方向的
   分向量设置为1 或者−1.
   例如一个速度向量为
   20
   15
   −1
   )实体被正在推动的朝着x 轴负方向活塞碰到，

第4 章
外界因素对于实体运动的作用
· 81 ·
这这个实体改变后的速度向量为
1
15
−1
4.6
粘液块与床的反弹
4.6.1
名词引入
反弹系数
定义4.19. 反弹系数决定着一个实体在碰到这两种方块时的反弹的程度，记作B，
不同方块不同实体的反弹系数B 都不一样.
不同方块不同实体的反弹系数B 都不一样，具体见表格4.3.
表4.3
反弹系数B 取值
普通实体
活体
粘液块
0.8
1
床
0.48
0.66
4.6.2
反弹原理
公理4.8. 反弹后的第一TICK 的y 方向分速度时反弹前最后一TICK 的速度的反
方向与反弹系数的积.
用公式表示为：
v′
n = −vn ·
0
B
0
(4.31)
4.6.3
粘液块回弹定理
例4.2. 若实体从初速度为零固定高度h0 下自由落体粘液块后重新弹起，求弹起
后的次高点h1 与刚开始的高度的差.
证明: 以向上为正方向，先誊抄竖直方向上的自由实体的速度与位移随时间的相
关公式.
vy,t = g · t
(4.32)
sy,0 = g · t(t −1)
2
(4.33)

· 82 ·
第4 章
外界因素对于实体运动的作用
联立这两个方程改参且代入h 得到：
h0 = g ·
vy
g
vy
g −1

2
(4.34)
解得：
vy = g +
p
g2 + 8gh0
2
反弹得：
v′
y = kg +
p
g2 + 8gh0
2
再代入到(5.35)，直接得：
h1 = k2h0 + k(k −1)
4

g +
p
g2 + 8gh0

(4.35)
做差直接得到：
∆1 = h1 −h0 =
k2 −1


h0 + k(k −1)
4

g +
p
g2 + 8gh0

为此我们得到两个定理：
定理4.1. 实体弹起后的次高点高度h1 与初始高度h0 的关系方程大致类型为：一
个与初始高度成正比的线性项加上一个包含常数和初始高度平方根的项.
定理4.2. 实体弹起后的次高点与初始点的高度差∆1 的方程大致类型为：一个与
初始高度成正比的线性项加上一个包含常数和初始高度平方根的项。
我们再对公式(5.36)的h1 改写成hn+1，h0 改写成hn，其中n 为第几次到次高
点高度，h0 为刚开始抛出的高度，我们研究次高点高度与第几次到次高点高度的
关系.
例4.3. 若实体从初速度为零固定高度h0 下自由落体粘液块后重新弹起，求第n 次
弹起后的次高点高度hn.
证明: 我们只需要求这个递推公式变成通项公式：
hn+1 = k2hn + k(k −1)
4

g +
p
g2 + 8ghn


第4 章
外界因素对于实体运动的作用
· 83 ·
首先，计算g2 + 8ghn+1：
g2 + 8ghn+1 = g2 + 8g

k2hn + k(k −1)
4

g +
p
g2 + 8ghn

= g2 + 8k2ghn + 2gk(k −1)

g +
p
g2 + 8ghn

= g2 + 8k2ghn + 2g2k(k −1) + 2gk(k −1)
p
g2 + 8ghn
= g2 [1 + 2k(k −1)] + 8k2ghn + 2gk(k −1)
p
g2 + 8ghn
其中1 + 2k(k −1) = 2k2 −2k + 1.
另一方面，计算：

k
p
g2 + 8ghn + g(k −1)
2
= k2(g2 + 8ghn) + 2kg(k −1)
p
g2 + 8ghn + g2(k −1)2
= k2g2 + 8k2ghn + 2gk(k −1)
p
g2 + 8ghn + g2(k2 −2k + 1)
= g2(2k2 −2k + 1) + 8k2ghn + 2gk(k −1)
p
g2 + 8ghn
与上式相同，因此：
g2 + 8ghn+1 =

k
p
g2 + 8ghn + g(k −1)
2
取平方根（取非负根）：
p
g2 + 8ghn+1 = k
p
g2 + 8ghn + g(k −1)
这是一个关于
p
g2 + 8ghn 的一阶线性递推关系.
求解该线性递推。齐次方程：
p
g2 + 8ghn+1 = k
p
g2 + 8ghn，齐次解为Ckn
对于常数C。非齐次项为常数g(k −1)，设特解为常数A，代入递推：
A = kA + g(k −1)
A(1 −k) = g(k −1)
A = g(k −1)

1 −k

= −g
通解为：
p
g2 + 8ghn = Ckn −g
由初始条件n = 0：
p
g2 + 8gh0 = Ck0 −g = C −g
C =
p
g2 + 8gh0 + g
所以：
p
g2 + 8ghn =
p
g2 + 8gh0 + g

kn −g

· 84 ·
第4 章
外界因素对于实体运动的作用
解出hn:
g2 + 8ghn =
hp
g2 + 8gh0 + g

kn −g
i2
8ghn =
hp
g2 + 8gh0 + g

kn −g
i2
−g2
hn = 1
8g
hp
g2 + 8gh0 + g

kn −g
i2
−g2

通项公式为：
hn = 1
8g
hp
g2 + 8gh0 + g

kn −g
i2
−g2

(4.36)
由此可以发现，随着弹跳到最高点的次数越多，最高点的高度越接近0.
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
0
5
10
n
hn
k = 0.8, g = 0.04, h0 = 10
图4.4
函数hn 的变化曲线（k = 0.8, g = 0.04, h0 = 10）
4.7
粘液块、蜂蜜块与灵魂沙上实体的移动
4.7.1
名词引入
方块阻尼系数
定义4.20. 方块阻尼系数决定着一个实体在方块上时的阻尼的程度，记作ω，不同
方块不同实体的方块阻尼系数ω 都不一样.
不同方块不同实体的方块阻尼系数ω 都不一样，具体见表格4.4.
4.7.2
减速原理
公理4.9. 实体在每一TICK 中计算完影响因子后，若实体在方块上，对在xOz 平
面乘以方块阻尼系数.

第4 章
外界因素对于实体运动的作用
· 85 ·
表4.4
系数ω 取值
方块
系数ω
粘液块
0.4
灵魂沙
0.4
灵魂沙（活体穿有灵魂疾行的靴子）
1
蜂蜜块
0.4
其他方块
1
用公式表示为：
v′
n = vn ·
ω
0
ω
(4.37)
4.8
实体在蜂蜜块侧面的移动
4.8.1
名词引入
蜂蜜块侧面系数
定义4.21. 蜂蜜块侧面系数影响着一个实体在蜂蜜块的侧面时的影响的程度，记
作λ.
蜂蜜块侧面系数vλ 的值恒为1
20.
蜂蜜块常系数
定义4.22. 蜂蜜块常系数是判断实体再蜂蜜块侧面滑动的常数，记作vΛ.
蜂蜜块常系数vΛ 的值恒为2
25.
4.8.2
侧面原理
公理4.10. 若方块在蜂蜜块侧面上，且当实体向y 轴负方向移动的速度大于vΛ 时，
这时实体向y 轴负方向移动的速度锁定为vλ.
公理4.11. 若方块在蜂蜜块侧面上，每一TICK 中改变后的方块在xOz 面的分向
量是改变前的蜂蜜块侧面系数与实体向y 轴移动的速度的绝对值之比倍.

· 86 ·
第4 章
外界因素对于实体运动的作用
用公式表示为：
vy(n + 1) =
vy(n)
vy(n) ≥−vΛ
vλ
vy(n) < −vΛ
(4.38)
˜v′
n =
λ
vy(n)˜vn
(4.39)
4.9
实体的挤压与推动
4.9.1
名词引入
推压系数
定义4.23. 在实体之间的推压过程，实体的推压程度的系数叫推压系数，记作Ω.
推压系数系数Ω的值恒为1
20.
实体间的切比雪夫距离
定义4.24. 在实体之间的推压过程，实体两个实体之间的切比雪夫距离记作d.
实体间的欧几里得距离
定义4.25. 在实体之间的推压过程，实体两个实体之间的欧几里得距离记作r.
4.9.2
推压原理
公理4.12. 在实体中，若两个实体的切比雪夫距离在零到一之间，实体的挤压对作
用的实体产生的加速度就是Ω· r
√
d
；若若两个实体的切比雪夫距离大于一，实体的
挤压对作用的实体产生的加速度就是Ω· r
d . 上面的加速度的方向都是水平面上的
作用的实体指向被作用的实体.
用公式表示为：
a =
Ω· r
√
d

0 < d ≤1

Ω· r
d
d > 1
(4.40)